Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.

Траектория в виде двух окружностей.

Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.

Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.

Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/½ S½ , s1/½ S½ , 0).

Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет следующие пространственные координаты:

x = -p1 sinl - r cosl = -p1 s2 /½ S½ - s1 ,

y = p1 cos l - r sinl = p1 s1 /½ S½ - s2 , z = p2.

В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.

Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки

P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1 s2/½ S½ v s1, p1 s1/½ S½ v s2, p2).

Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:

При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).

Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и :

,

.

Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию = g+ (x , l ).

В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x , l ) = для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2, l ).

Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют вид:

.

.

Теперь мы можем выразить используя gr(p1, p2, l ):

= g+ (x , l ) = gr(2 ½ S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /, -2½ S(l )½ 2x 3 /,l ),

если < 0, = 0, если ³ 0.

Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:

g+ (P, l ) и = g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,);

Узнайте больше ...

Хронические гепатиты и циррозы печени
Печень, по выражению И.П. Павлова, является "главной лабораторией организма". Это один из самых крупных органов человеческого организма. Печень взрослого человека весит 1300-1800 гр. Располагается она в правом подреберье и частично заходит в левое. Печень делится на 2 основные доли: правую (большую) и левую (малую). Между этими долями расположен желчный п ...