Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.

В формулу (2.1.2) входит G+(b ,l ) - преобразование Фурье от функции , однако преобразование Фурье, понимаемое в обычном смысле:

,

в данном случае не существует, так как является однородной и имеет на бесконечности порядок 1/ê a ê . Преоразование Фурье здесь понимается в смысле обобщенных функций. Поскольку однородная функция, то при любом фиксированном l исходные данные, полностью определяются своими значениями на поверхности ê a ê =1. Переход к функции, заданной во всем пространстве R3 при использовании преобразования Фурье приводит к обобщенным функциям. Преобразование Фурье в смысле обобщенных функций является линейным функционалом над соответствующим пространством. Подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах. Здесь нам важно отметить, что не любой функционал задается с помощью регулярной функции. Для того, чтобы использовать формулы типа (2) для построения алгоритмов, необходимо показать, что задается с помощью регулярной функции и иметь для нее выражения через функцию . В работе [101] дается выражение, связывающее , при x отличном от нуля с помощью регулярных операций с искомой функций f(x), то есть фактически показано, что функционал задается с помощью регулярной функции. Однако для построения алгоритмов томографической реконструкции нужно выразить не через искомую функцию f(x), а через исходные данные .

Итак, перейдем к нахождению . Мы будем использовать то, что является однородной функцией по a фиксированном l . В [95] доказано следующее

Утверждение: Пусть есть преобразование Фурье в смысле обобщенных функций от однородной функции , тогда

. (2.1.3)

Строгое доказательство требует существенного использования аппарата обобщенных функций, понимаемых как линейные функционалы над соответствующим пространством. Здесь мы ограничимся изложением основных моментов доказательства. В частности, замену переменных в расходящихся интегралах мы будем делать по тем же правилам, что и в обычных.

Представим в виде

,

(поскольку параметр l фиксирован, его на данном этапе можно опустить).

Как уже отмечалось выше, интеграл является расходящимся, тем не менее, переходя к сферическим координатам по обычным правилам, получаем:

,

где b = b (j ,q ) = (cosq cosj , sinq cosj , sinj ), j Î [-p /2, p /2], q Î [0, p ].

Учитывая, что , а также то, что интегрирование по углам j и q соответствует интегрированию по единичной сфере, приходим к выражению

.

Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).

Узнайте больше ...

Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах
Древняя латинская поговорка гласит: «Diagnosis cetra - ullae therapiae fundamentum» («Достоверный диагноз - основа любого лечения»). На протяжении многих веков усилия врачей были направлены на решение труднейшей задачи - улучшение распознавания заболеваний человека. Потребность в методе, который позволил бы заглянуть внутрь человеческого тела, ...